Лабораторная работа № 1 
   «Применение базовых средств пакета MATHCAD для решения нелинейных уравнений»

1.1. Вопросы, подлежащие изучению

1.	Постановка задачи численного решения нелинейных уравнений.
2.	Этапы численного решения уравнения.
3.	Аналитический и графический методы отделения корней. 
4.	Уточнение корня методами половинного деления, итерации, Ньютона и хорд.
5.	Графическая иллюстрация методов половинного деления, итерации, Ньютона и хорд.
6.	Условие окончания вычислений при использовании методов половинного деления, итерации, Ньютона и хорд.
7.	Сходимость метода итерации, выбор начального значения корня, правило выбора итерирующей функции и оценка погрешности метода итерации.
8.	Теорема о сходимости метода Ньютона и оценка погрешности метода.
9.	Правило выбора неподвижной точки, начальной точки и условие сходимости метода хорд.
10.	 Условия окончания вычислений в методах итерации, Ньютона   и хорд.
11.	 Сравнение методов половинного деления, итерации, Ньютона и хорд.
12.	 Алгоритмы и программы решения нелинейных уравнений на языке   программирования.  
13.	 Решение нелинейных уравнений средствами математических пакетов 

1.2. Задание

1.	Выбрать индивидуальное задание (нелинейное уравнение) из таблицы.1-1.
2.	Отделить корни уравнения.
3.	Уточнить корень уравнения 4-мя численными методами, для чего для каждого метода: 
•	проверить выполнение условий сходимости вычислительного процесса, в случае расходящегося процесса – сделать необходимые преобразования для обеспечения сходимости; 
•	выбрать начальное приближение; 
•	сформулировать условия окончания этапа уточнения корня.
4.	Провести расчет трех итераций (без использования панели инструментов «Программирование»). 
5.	Оценить погрешность результата расчета.
6.	Решить нелинейное уравнение встроенными средствами математического пакета. 

	1.3. Варианты задания
							                                            Таблица 1-1
№	Уравнение	№	Уравнение	
1	tg(0,36x +0,4) = x2	19	ex + ln(x) – x = 0	
2	x + ln(4x) – 1 = 0	20	1–x+sin(x)–ln(1+x) = 0	
3	ex – 4 e-x – 1 = 0 	21	 – cos(1–x) = 0	
4	x ex – 2 = 0	22	sin(x2)+cos(x2)–10x = 0	
5	4 (x2 + 1) ln(x) – 1 = 0 	23	x2 – ln(1 + x) – 3 = 0	
6	2 – x – sin(x / 4) = 0	24	cos(x / 2) ln(x – 1) = 0	
7	x2 + ln(x) – 2 = 0	25	cos(x/5) – x = 0	
8	cos(x)–(x + 2)1/2 + 1 = 0	26	3x – e-x = 0	
9	4 (1 + x1/2) ln(x) – 1 = 0	27	4(1+) ln(x)–10 = 0	
10	5 ln(x) –  = 0	28	(x-3)2 lg(x-2) = -2	
11	ex + x3 – 2 = 0	29	x – 1 / (3 + sin(3.6x)) = 0	
12	3 sin () + x – 3 = 0	30	0.25x3 + cos(x / 4) = 0	
13	0.1x2 – x ln(x) = 0	31	2 – x = ln x	
14	cos(1 + 0.2x2) – x = 0	32	x2 + 4sinx = 0	
15	3 x – 4 ln(x) – 5 = 0	33	0,5x -3 = (x+2)2	
16	sin(1 – 0.2x2) – x = 0	34	1 + lgx = 0,5	
17	ex – e-x – 2 = 0	35	2 lgx – x/2+ 1 = 0	
18	x – sin(1 / x) = 0	36	x – sinx = 0,25	

1.4. Содержание отчета

1.	Индивидуальное задание (уравнение, метод решения).
2.	Результаты этапа отделения корней (интервалы изоляции корня уравнения).
3.	Результаты исследования задания:
•	условие сходимости вычислительного процесса; 
•	начальное приближение; 
•	условие окончания процесса уточнения. 
4.	Результаты расчета, представленные по форме табл. 1-2а для метода половинного деления и по форме табл. 1-2б для остальных методов.

       		Таблица 1-2а
к	a	b	f(a)	f(b)	(a+b)/2	f( (a+b)/2)	b-a	
1								
2								
3								
4								

                                                            	Таблица 1-2б
к	x	f(x)	
1			
2			
3			
4			

5.	Оценки погрешностей результатов расчета.
6.	Результат решения задачи, полученный с помощью математического пакета.

1.5. Пример выполнения задания

1. Задание для решения нелинейных уравнений:
•	уравнение   ;
•	методы решения нелинейных уравнений –  половинного деления, итерации, Ньютона и хорд;

2.	Отделение корней с использованием MathCad
 Отделение корней производим графическим методом (график функции) с обязательным подтверждением результата аналитически (таблица).

	
	
На отрезке [0; 1] функция f(x) меняет знак, т.е. существует, по крайней ере, один корень. Поскольку знак первой производной f1(x)=–sin(x)–3<0   на выбранном отрезке остается постоянным, то можно сказать, что функция на этом отрезке монотонна. Знакопостоянство второй производной 
f2(x)=–cos(x)<0 на выбранном отрезке является необходимым условием применения метода Ньютона и метода хорд. Следовательно, уравнение  
1–3х+cos(x)=0   имеет единственный корень на отрезке [0;1].

3. Уточнение корня с использованием MathCad

Метод половинного деления

1)	Исследование задания 
•	Метод половинного деления сходится, если на выбранном отрезке отделен один корень. Так как на отрезке [0;1] функция  меняет знак   () и  монотонна (f′(x)<0),  то условие сходимости выполняется. 
•	Выберем за начальное приближение середину отрезка  
 =0.5.
•	Условие окончания процесса уточнения корня. Для оценки погрешности метода половинного деления справедливо условие 
|bn – an|<ε , т.е. длина отрезка, полученного на n-ом шаге должна быть меньше заданной точности - 
2)	Результаты «ручного расчета» трех итераций

1 итерация
          f(x0)=0.377
    
   следовательно,        

2 итерация
               f(x1)=-0.5 

  следовательно,      

3 итерация
      
        f(x2)=-0.064

  следовательно,       
    и т.д.	

Результаты вычислений представлены в форме табл. 1-2а.

n	an	bn	f(an)	f(bn)	(an+bn)/2	f( (an+bn)/2)	bn-an	
0	0	1	2	-1.459	0.5	0.377	1	
1	0.5	1	0.377	-1.459	0.75	-0.518	0.5	
2	0.5	0.75	0.377	-0.518	0.625	-0.064	0.25	
3	0.5	0.625					0.125	

    После трех итераций приближение к корню – середина отрезка [a3, b3] – x3=0.5625.

3) Погрешность численного решения нелинейных уравнений
     
 Оценим погрешность результата после трех итераций: r = | b3 – a3 |=0.125 . Округлим eё в большую(!) сторону – до первой слева ненулевой цифры – 
| b3 – a3 |=0.2 
 
Согласуем/округлим решение (x3) по числу знаков в погрешности. Получим:

ОТВЕТ: после 3-х итераций корень уравнения равен  x3  r = 0,6  0,2

Метод итераций
 
1) Исследование задания.
•	Приведем уравнение f(x)=0 к виду . Тогда рекуррентная формула  .  Для сходимости процесса итерации необходимо, чтобы   при . Если  то сходимость не обеспечена. 
Приведем уравнение  к виду x = (cos(x)+1)/3 и проведем исследование.

В приведенном примере условие сходимости выполняется и можно использовать итерирующую/итерационную функцию  в рекуррентной формуле для уточнения корня методом итераций, что и будет показано ниже. Однако, в случаях, когда свободный х выразить не удается, или когда  целесообразно воспользоваться  следующим приемом, позволяющим обеспечить выполнение условий сходимости.
Построим функцию  где  параметр   может быть определен по правилу:
если то  
если  то       где    .
Приведем пример выбора параметра λ и итерирующей функции. Для заданного уравнения исследовано, что 
f ′(x)<0, тогда . 
f ′ (0)=-3, f ′ (1)=-3.841,
r = max{ |-3|, |-3.841| }=3.841, тогда 0<λ<0.26.
Полагаем λ=0.25. Тогда рекуррентная формула: φ(x)= 0.25(1 - 3x + cos x) + x = 0.25(1+x+cos x).

•	Выбор начального приближения к корню. В методе итераций x0 – произвольное значение из отрезка [a;b], например, x0=0
•	Условие окончания процесса уточнения корня. Для оценки погрешности метода итерации справедливо соотношение:
. Итерации следует продолжать до тех пор, пока не выполнится условие останова:, где q=max |φ′(x)| на выбранном отрезке, ε – заданная точность. В нашем случае 
q=max |φ′(x)|==0.28. Тогда условие останова будет . Если  q<1/2,  то можно использовать условие 

2) «Ручной расчет» трех итераций
Для получения решения уравнения методом итерации необходимо воспользоваться следующей рекуррентной формулой: ,

                             

         	

     Результаты вычислений представлены в форме табл. 1-2б.

к	Xк	f(xк)	
0	0	2	
1	0.667	-0.214	
2	0.595	 0.042	
3	0.609	-7.95 • 10-3	

Сходимость итерационного процесса подтверждается принадлежностью всех Xк   выбранному исходному отрезку изоляции корня [0;1] и стремлением f(xк) к нулю.
 
Примечание:  Если свободный х выразить не удается или когда  то применяется формула с использованием λ.

3) Погрешность численного решения нелинейного уравнения

   	       Оценим погрешность результата после трех итераций: 

.
Аналогично предыдущему методу, округлим погрешность решения 
(0.0054 ≤ r=0.006). Здесь погрешность возникает уже в 3-ем знаке после запятой.  
Округлим/согласуем решение (x3) по числу знаков после запятой в погрешности. Окончательно получим:

ОТВЕТ: после 3-х итераций корень уравнения равен  x3   r =  0,609  0,006. 
     В условиях задачи метод точнее предыдущего на 2 порядка.

Метод Ньютона

1)  Исследование задания.
•	Необходимые и достаточные условия сходимости метода Ньютона:
непрерывна на [a;b]  и ; 
 и отличны от нуля и сохраняют знаки для .
В нашем случае на отрезке [0;1] требования сходимости выполняются. 
•	Начальное приближение  должно удовлетворять условию: , т.е. за начальное приближение следует принять тот конец отрезка, где знак функции и знак второй производной совпадают. Поскольку  < 0 и  < 0, то   выберем  начальное приближение к корню:  =1.
•	Условие окончания процесса уточнения корня. Для оценки погрешности метода Ньютона справедливо соотношение: , где M2 – наибольшее значение  ,  m1 –наименьшее значение  на отрезке[a;b]. Из требования обеспечения точности ε следует условие окончания вычислений 
2)  Расчет трех итераций
Для получения решения уравнения методом Ньютона  воспользуемся следующей рекуррентной формулой: 
В нашем случае , =1.

                                                 

                 

      Представим вычисления в виде следующей табл. 1-2б.
k	Xk	f(xk)	
0	1	-1.4597	
1	0.62	-0.046	
2	0.607121	-6. 788 •10-5	
3	0.60710164814	-1.484 •10-10	

3)  Погрешность численного решения нелинейных уравнений

Оценим погрешность после трех итераций:

ОТВЕТ: после 3-х итераций корень уравнения равен
                .  В условиях задачи метод точнее         
                предыдущего на 8 порядков.

Метод хорд 

1) Исследование задания.
•	Необходимые и достаточные условия сходимости аналогичны методу Ньютона, а именно:
непрерывна на [a;b]  и ; 
 и отличны от нуля и сохраняют знаки для .
В нашем случае на отрезке [0;1] требования сходимости выполняются.  
•	Выбор начального приближения. Вид рекуррентной формулы зависит от того, какая из точек a или b является неподвижной. Неподвижен тот конец отрезка [a;b], для которого знак функции f(x) совпадает со знаком ее второй производной. Тогда второй конец отрезка можно принять за начальное приближение к корню, то есть точку х0.
Рекуррентная формула метода хорд:

 где  - неподвижная точка.   
                
На этапе отделения корня было показано, что для функции  f(x)=1–3x+cosx вторая производная  <0 на отрезке  [0;1] и, следовательно, неподвижной точкой является точка x=b=1, так как   .
Таким образом, полагая =a=0, получим сходящуюся последовательность приближений к корню.
В рассматриваемой задаче рекуррентная формула принимает следующий вид
         
•	Условие окончания процесса уточнения корня. Оценку погрешности можно проводить по любой из формул  или , где m1 и M1 – наименьшее и наибольшее значения  на отрезке. В случае, если M1<m1 можно использовать правило останова 

2) Расчет трех итераций
Для получения решения уравнения методом хорд воспользуемся следующей рекуррентной формулой:
= 0.

	

 Результаты вычислений представлены в виде следующей таблицы:

n	Xn	f(xn)	
0	0	2	
1	0.5781	0.10325	
2	0.6059	4.0808 •10-3	
3	0.60706	1.59047•10-4	

3) Погрешность численного решения нелинейного уравнения
     Погрешность результата, вычисленного методом хорд,   оцениваем по формуле  
     . Тогда после трех   итераций   

ОТВЕТ: после 3-х итераций корень уравнения равен
    
В условиях задачи метод менее точен чем предыдущий на 7 порядков.

4. Решение уравнения встроенными средствами MathCad

Для решения нелинейных уравнений вида f(x) = 0 в Mathcad используется вариант встроенной функции root(f(x), x, a, b), где f(x) – имя функции, стоящее в левой части решаемого уравнения, x – аргумент функции, a и b –границы отрезка с корнем. В приведенном ниже примере z -  имя переменной, которой присваивается найденное значение корня. 

	

1.6. Контрольные вопросы по теме
«Методы решения нелинейных уравнений»
 
1. Что представляет собой нелинейное уравнение?
2. Что является корнем нелинейного уравнения f(x)=0?
3. Чему равна функция в точке корня?
4. Как называется процесс нахождения возможно более узкого отрезка,
     содержащего только один корень уравнения?
5.  Каково условие существования на отрезке [a;b] хотя бы одного корня?
6.  При каких условиях корень x будет единственным на отрезке [a;b]?
7.  Процесс решения нелинейного уравнения состоит из...  
8.  Как называются этапы решения нелинейного уравнения?
9.  В чем заключается этап «отделения корней» нелинейного уравнения? 
10.  Что такое начальное приближение к корню?
11.  Что определяется на этапе уточнения корней?
12.  Какие методы не относятся к методам отделения корня?
13.  Какие методы не относятся к методам уточнения корня?
14.  Какие методы используются на этапе отделения корней?
15.  Что необходимо, чтобы выбрать x0 в качестве начального приближения в
       методе Ньютона?
16.  Что является необходимым условием существования корня на отрезке
       [a;b]? 
17.  Какой метод решения нелинейного уравнения требует более близкого к
       корню начального значения?
18.  Назовите метод решения нелинейного уравнения, в результате которого 
       получается последовательность вложенных отрезков?
19.  Можно ли уточнить корень уравнения графическим методом?
20. Что является первым приближением к корню, отделенному на отрезке [a;b], 
       при решении нелинейного уравнения методом половинного деления?
21.  При каких условиях метод половинного деления всегда находит корень       
       уравнения f(x)=0?
22.  Что означает термин - «метод расходится»?
23.  Какой метод решения нелинейного уравнения обладает квадратичной
       сходимостью?
24.  Каково правило выбора итерирующей функции при использовании метода
       итераций?
25.  Что принимается за начальное приближение в методе итерации?
26.  Каково правило выбора неподвижной точки при использовании метода
       хорд? 
27.  Какое значение выбирается в качестве начального приближения в методе
       хорд? 
28.  Почему необходим этап отделения корней?
29.  При каких условиях метод хорд позволяет вычислить отделенный корень с 
       заданной погрешностью?
30.  Для каких функций не рекомендуется применять метод Ньютона?
31.  Что можно сказать о методе итерации, если на заданном отрезке имеются
       два корня?
32.  Как могут осуществляться итерации приближения к корню в процессе
       решения уравнения методом простой итерации?
33.  Какой метод решения нелинейного уравнения обладает свойством
       «самокоррекции»?
34.  Что относится к способам улучшения сходимости метода простой
        итерации?