Тема 3. Теория ожидаемой полезности

3.1  Потребительский выбор в условиях риска

3.2  Меры Эрроу-Пратта

3.3 Функция полезности U(), карта кривых безразличия

3.1 Потребительский выбор в условиях риска

Построение функции полезности индивида основано на следующих основных понятиях:

-     простая лотерея (простой шанс) – лотерея с двумя исходами, вероятности которых известны и их сумма равна единице;

-     гарантированный (безрисковый) эквивалент – доход (гарантированный выигрыш), который для данного индивида эквивалентен по полезности простой лотереи (случайному выигрышу).

Простая лотерея записывается как

,

где выигрыш с вероятность Р;

     выигрыш с вероятностью (1-Р).

Таким образом, лотерея с 90% шансом выиграть 1000 д.е. и проиграть 3000 д.е., записывается как .

Ожидаемая полезность (т.е. математическое ожидание полезности) лотереи равна

Как правило, полезность в формальных записях обозначается через U – от анг. utility (полезность). Таким образом, ожидаемая полезность лотереи определяется путем суммирования полезности каждого ее исхода, взвешенной на соответствующую ему вероятность.

Полезность гарантированного эквивалента (обозначим через G от анг. guarantee (гарантия), по определению, равна ожидаемой полезности лотереи:

.

Естественно считать, что склонность или несклонность лица к риску определяется в зависимости от соотношения математического ожидания выигрыша в простую лотерею и гарантированного эквивалента.

Если  индивид готов заплатить за право участия в лотерее сумму большую, чем математическое ожидание выигрыша в ней, то он считается склонным (расположенным) к риску (рискофилом), т.е. для него безрисковый вариант поведения менее предпочтителен, чем рисковый с тем же математическим ожиданием:

Если  индивид готов заплатить за право участия в лотерее сумму меньшую, чем математическое ожидание выигрыша в ней, то он считается несклонным (нерасположенным) к риску (рискофобом), т.е. для него безрисковый вариант поведения предпочтительнее, чем рисковый с тем же математическим ожиданием:

Если  индивид готов заплатить за право участия в лотерее сумму равную математическому ожиданию выигрыша в ней, то он считается нейтральным к риску, для него безрисковый вариант поведения эквивалентен рисковому с тем же математическим ожиданием:

Как определено ранее, для любого индивида вне зависимости от его отношения к риску полезность гарантированного эквивалента равна ожидаемой полезности лотереи , таким образом, объединяя полученные ранее соотношения, имеем, что

-         для склонного к риску индивида:

– ожидаемая полезность лотереи (мат. ожидание полезности) всегда больше полезности мат. ожидания выигрыша по ней;

-     для несклонного к риску индивида:

– ожидаемая полезность лотереи (мат. ожидание полезности) всегда меньше полезности мат. ожидания выигрыша по ней;

-     для нейтрального к риску индивида:

– ожидаемая полезность лотереи (мат. ожидание полезности) всегда равна полезности мат. ожидания выигрыша по ней.

Строго говоря, склонность или несклонность индивида к риску определяется формой функции полезности от дохода.

Как известно (неравенство Йенсена), функция f(x) называется строго выпуклой, если для любых двух значений аргумента x₁, x₂ и числа 0<λ<1, выполняется неравенство:

Если для любых двух значений аргумента x₁, x₂ и числа 0<λ<1, выполняется неравенство:

то f(x) – строго вогнутая.

Если для любых двух значений аргумента x₁, x₂ и числа 0<λ<1, выполняется равенство:

то f(x) – линейная.

Если обозначить , то для строго выпуклой функции справедливо неравенство:

Это означает, что функция полезности от дохода индивида склонного к риску – строго выпуклая.

Проводя аналогичные манипуляции, легко получить, что функция полезности от дохода индивида несклонного к риску – строго вогнутая, функция полезности от дохода индивида нейтрального к риску – линейная.

Как известно, форма функции (выпуклость, вогнутость, линейность) определяется знаком ее второй производной. 

Если функция f(x) дважды дифференцируема, то она выпуклая при f″(x) >0, вогнутая –  при f″(x) < 0, линейная – при f″(x) = 0.

Итак, если функция полезности индивида от дохода U(r) дважды дифференцируема и он:

-     склонен к риску, то U″(r)>0, т.е. предельная полезность U′(r) возрастает (каждая единица дохода приносит индивиду все большую дополнительная полезность);

-     несклонен к риску, то U″(r)<0, т.е. предельная полезность U′(r) убывает (каждая единица дохода приносит индивиду дополнительная полезность меньшую, чем предыдущая);

-     нейтрален к риску, то U″(r)=0, т.е. предельная полезность U′(r) постоянна (каждая единица дохода приносит индивиду одинаковую дополнительную полезность).

Рассмотрим пример, поясняющий представленный выше формализм.

Индивид в настоящий момент времени располагает 35000 д.е. и может принять участие в лотерее А, в которой возможен выигрыш 50000 д.е. с вероятностью 0,4 или выигрыш -10000 д.е. с вероятностью 0,6; или в лотерее Б, в которой возможен выигрыш 20000 д.е. с вероятностью 0,5 или выигрыш 10000 д.е. с вероятностью 0,5. Принимать ли ему участие в лотерее, если да, то в какой? Для лотереи, в которой субъект решил участвовать, вычислить полезность мат. ожидания и гарантированный эквивалент. Определить отношение субъекта к риску, если его функция полезности от дохода  

Решение

Запишем лотерею А и Б в формальном виде (при вычислении исходов лотерей необходимо учесть величину начального капитала индивида): , .

У индивида имеется три варианта действий: не участвовать в лотереи, участвовать в лотереи А, участвовать в лотереи Б. Разумно считать, что критерием выбора является уровень ожидаемой полезности рассматриваемых альтернатив.

Таким образом, максимум ожидаемой полезности принесет третья альтернатива: участие в лотереи Б.

Для определения полезности мат. ожидания лотереи Б необходимо вначале его (мат. ожидание) вычислить.

Тогда, полезность математического ожидания лотереи Б равна

Как определено ранее, гарантированный эквивалент – это такой доход, полезность которого для индивида равна ожидаемой полезности лотереи.

Для определения отношения индивида к риску необходимо вычислить вторую производную его функции полезности от дохода:

Так как вторая производная отрицательна, то данный индивид несклонен к риску.

Аналогичный результат может быть получен, если анализ проводить и по другим критериям. Так, для несклонного к риску индивида характерно следующее:

Подводя итоги, важно заметить, что характер изменения функции полезности от дохода индивида U(r) может быть различным на разных участках.  Наблюдения на финансовых рынках показывают, что преобладающий тип поведения их участников характерен для рискофобов.

Литература

1         Шапкин, А.С. Теория риска и моделирование рисковых ситуаций [Текст] : учебник / А.С. Шапкин, В.А. Шапкин. – 3-е изд. – М. : Издат.-торг. корпорация Дашков и К^о, 2008. – 880 с.

Тема 3. Теория ожидаемой полезности

В предыдущем разделе было установлено, как определить отношение индивида к риску: склонность, несклонность, нейтральность   – однако разумно предположить, что индивиды обладают и разной степенью склонности/несклонности к риску.

Рассмотрим далее функцию полезности несклонного к риску индивида.

Естественно читать, что характеристикой степени неприятия риска может служить степень вогнутости функции полезности (т.е. скорость убывания предельной полезности).

Степень вогнутости функции полезности определяется отношением ее второй производной  к первой . На этой основе строятся показатели неприятия риска – меры Эрроу–Пратта (Arrow-Pratt).

Абсолютная мера Эрроу–Пратта (absolutely risk aversion):

Относительная мера Эрроу–Пратта (relative risk aversion):

Коэффициент абсолютной несклонности к риску  можно рассматривать как показатель, который говорит о процентном изменении предельной полезности при изменении дохода индивида на 1 д.е.

В свою очередь, коэффициент относительной несклонности к риску можно рассматривать как показатель, который говорит о процентном изменении предельной полезности при изменении дохода инвестора на 1 %.

Таким образом, именно коэффициент относительной несклонности  отражает степень несклонности индивида к риску: чем выше значение, тем более нерасположен индивид к риску (коэффициент  также показывает степень несклонности к риску, однако его можно использовать для сравнения только в случае, когда доход индивидов измерен в одних и тех же единицах).

Итак, мы ответили на вопрос: «Как определить у какого индивида степень несклонности к риску выше?». Однако степень несклонности к риску может меняться с изменением уровня дохода индивида.  Изменение степени несклонности к риску определяется возрастанием или, соответственно, убыванием мер  или , что, в свою очередь, определяется знаком их первых производных.

Итак,

-     если , то абсолютная несклонность индивида к риску растет, значит, с увеличением богатства рискованно вложенная сумма убывает;

-     если , то абсолютная несклонность индивида к риску убывает, значит, с увеличением богатства рискованно вложенная сумма растет;

-     если , то абсолютная несклонность индивида к риску постоянна, значит, с увеличением богатства рискованно вложенная сумма постоянна.

-     если , то относительная несклонность индивида к риску растет, значит, доля рискованно вложенной суммы убывает;

-     если , то относительная несклонность индивида к риску убывает, значит, доля рискованно вложенной суммы растет;

-     если , то относительная несклонность индивида к риску постоянна, значит, доля рискованно вложенной суммы постоянна.

Рассмотрим пример.

Определить, как изменяется отношение к риску индивида А, имеющего  функцию полезности , с ростом дохода? Какой из инвесторов А или Б более несклонен к риску, если функция полезности от дохода инвестора Б – ?

Решение

Как установлено ранее, изменение отношения индивида к риску определяется знаком первой производной абсолютной и относительной мер Эрроу-Пратта.

;

Значит, абсолютная несклонность индивида А к риску с ростом дохода убывает.

Относительная несклонность индивида А к риску с ростом дохода постоянна.

Чтобы определить, какой из индивидов А или Б более несклонен к риску необходимо сравнить значения их относительных мер Эрроу-Пратта.

Так как , значит, индивид А более нерасположен к риску, чем индивид Б.

Литература

1         Энциклопедия финансового риск-менеджмента [Текст] : энциклопедия / под ред. А.А. Лобанова, А.В. Чугунова. – 4-е изд., испр. и доп. – М. : Альпина Бизнес Букс, 2009. – 931 с. 

Тема 3. Теория ожидаемой полезности

Рассмотрим функции полезности , с помощью которой индивид оценивает некоторую альтернативу (например, лотерею, инвестиционный проект и т.п.) с риском (стандартным отклонением доходности) σ и ожидаемой доходностью (мат. ожиданием доходности) m.

Естественно, что предпочтение отдается варианту с большим значением функции полезности.

Эквивалентные варианты определяться как

,

где С=const.

Это уравнение неявным образом задает ожидаемую доходность m как функцию риска σ при фиксированной правой части С. Каждая кривая с фиксированным С  называется линией уровня и задает равнополезные для индивида комбинации альтернатив, поэтому их называют кривыми безразличия. Варьируя значением правой части С, получаем семейство (карту) кривых безразличия.

Рисунок 3.1

Характер кривых безразличия, представленных на рисунке  3.1, отражает разные модели восприятия риска:

а) индивид несклонен к риску, при равном уровне ожидаемой доходности выбирает ту альтернативу, которая имеет меньший риск;

b)  индивид склонен к риску, при равном уровне ожидаемой доходности выбирает ту альтернативу, которая имеет больший риск;

с) индивид «бесконечно» безразличен к риску, не требует дополнительной ожидаемой доходности для принятия на себя дополнительного риска;

d) индивид «бесконечно» несклонен к риску, готов идти на дополнительный риск лишь в случае вознаграждения бесконечно большой дополнительной ожидаемой доходностью.

Литература

1         Энциклопедия финансового риск-менеджмента [Текст] : энциклопедия / под ред. А.А. Лобанова, А.В. Чугунова. – 4-е изд., испр. и доп. – М. : Альпина Бизнес Букс, 2009. – 931 с. 

Тесты для самоконтроля

наверх