В рассмотренных ранее задачах принятия решения в условиях риска известны оценки вероятностей, с которыми можно ожидать тот или иной исход при их случайном выборе. Однако, во многих практических задачах очень часто совершенно не известно, с какой вероятностью можно ожидать возможные сценарий развития ситуации. Математическую модель принятия решений при таких условиях назовем методом принятия решений в условиях неопределенности.

Предположим, что ЛПР выделяет n вариантов развития ситуации, которые обозначим S₁, S₂,... , S_n и ЛПР имеет m альтернатив решения ситуации, которые обозначим A₁, A₂, ... , A_m. Таким образом ситуацию можно описать либо матрицей выигрышей ЛПР

	S1	S2	…	Sn
A1	a11	a12	…	a1n
A2	a21	a22	…	a2n
...	...	...	…	...
Am	am1	am2	…	amn

A = , либо матрицей рисков

R=.

Рассмотрим основные критерии, позволяющие выбирать оптимальную альтернативу для принятия решения.

4.1. Критерий Лапласа

Он основан на предположении, что каждый вариант развития ситуации (состояния «природы») равновероятен, то есть вероятность каждой ситуации S_j равна . Поэтому, для принятия решения, необходимо рассчитать функцию полезности F_i для каждой альтернативы, равную по сути среднеарифметическому показателей привлекательности по каждому «состоянию природы»:

Выбирается та альтернатива, для которой функция полезности максимальна.

С другой стороны, если задана матрица рисков R=, то согласно критерию Лапласа следует выбрать ту альтернативу, для которой средневзвешенный риск

минимален (в предположении равных вероятностей исходов S_j).

Пример 4.1

Одно из предприятий должно определить уровень предложения услуг так, чтобы удовлетворить потребности клиентов в течение предстоящих праздников. Точное число клиентов не известно, но ожидается, что оно может принять одно из четырех значений: 200, 250, 300 или 350 клиентов. Для каждого из этих возможных значений существует наилучший уровень предложения (с точки зрения возможных затрат). Отклонения от этих уровней приводят к дополнительным затратам либо из-за превышения предложения над спросом, либо из-за неполного удовлетворения спроса.

В таблице 4.1. приведены потери в условных единицах.

Таблица 4.1. Данные примера

Уровень предложения	S1	S2	S3	S4
A1	5	10	18	25
A2	8	7	8	23
A3	21	18	12	21
A4	30	22	19	15

где альтернативы A_i- решение ориентироваться на 200, 250, 300 или 350 клиентов, соответственно. А ситуации S_j - ситуации, когда количество клиентов окажется 200, 250, 300 или 350 соответственно. По сути значения в таблице - оценки риска.

Принцип Лапласа предполагает, что S_j равновероятны.

Следовательно, вероятности ситуаций P{S =S_j} =1/4, j= 1, 2, 3, 4 и ожидаемые потери при различных действиях A_i составляют:

F₁= (1/4)(5+10+18+25)=14,5

F₂= (1/4)(8+7+8+23)=11,5

F₃= (1/4)(21+18+12+21)=18,0

F₄= (1/4)(30+22+19+15)=21,5

Таким образом, наилучшим решением в соответствии с критерием Лапласа будет A₂­ (выбираем наименьшее значение F_i), то есть ориентироваться на 250 клиентов.

4.2. Критерий Вальда и критерий Сэвиджа

Данный критерий основывается на принципе максимального пессимизма, то есть на предположении, что скорее всего произойдет наиболее худший вариант развития ситуации и риск наихудшего варианта нужно свести к минимуму. Таким образом, если задана матрица выигрышей A = , то для применения критерия нужно для каждой альтернативы выбрать наихудший показатель привлекательности

a_i=

(наименьшее число в каждой строке матрицы выигрышей), а потом выбрать ту альтернативу, для которой этот показатель максимальный, то есть выбрать элемент в матрице

,

а соответствующая ему альтернатива признается наилучшей.

Если же задана матрица рисков R=, то применяется, так называемый, критерий Сэвиджа, который рекомендует выбрать альтернативу дающую минимальный риск из максимальных по каждому варианту альтернатив. То есть в матрице рисков выбирается элемент

,

а соответствующая ему альтернатива признается наилучшей.

Для Примера 4.1 (задана матрица рисков) имеем:

r1==25,

r2==23

r3==21,

r4==30,

.

Таким образом, наилучшим решением в соответствии с критерием Сэвиджа будет A₃ , то есть ориентироваться на 300 клиентов.

4.3. Критерий максимального оптимизма

Наиболее простой критерий, основывающийся на идее, что ЛПР, имея возможность в некоторой степени управлять ситуацией, рассчитывает, то произойдет такое развитие ситуации, которое для него является наиболее выгодным. В соответствии с критерием принимается альтернатива, соответствующая максимальному элементу матрицы выигрышей, то есть в матрице выигрышей выбирается элемент

,

а соответствующая ему альтернатива признается наилучшей.

Если же анализируется матрица рисков, то критерий максимального

оптимизма определяет оптимальную альтернативу, соответствующую

минимальному элементу матрицы выигрышей, то есть определяется элемент

,

а соответствующая ему альтернатива признается наилучшей.

4.4. Критерий Гурвица

Это самый универсальный критерий, который позволяет управлять степенью «оптимизма - пессимизма» ЛПР. Введем некоторый коэффициент , который назовем коэффициентом доверия или коэффициентом оптимизма.

Этот коэффициент можно интерпретировать как вероятность, с которой произойдет наилучший для ЛПР исход. Исходя из этого, наихудший вариант можно ожидать с вероятностью (). Коэффициент доверия показывает, насколько ЛПР может управлять ситуацией и в той или иной степени рассчитывает на благоприятный для него исход. Если вероятности благоприятной и неблагоприятной ситуации для ЛПР равны, то следует принять .

Для реализации критерия определяются наилучшие и наихудшие значение каждой альтернативе по формулам

,

Далее, вычисляются функции полезности по формуле:

F_i=.

И выбирается та альтернатива, для которой функция полезности максимальна.

Следует отметить, что при , критерий Гурвица переходит в пессимистический критерий Вальда, а при – в критерий максимального оптимизма.

Для реализации критерия Гурвица в случае заданной матрицы рисков также вычисляются максимальные и минимальные показатели для каждой альтернативы и . После чего полезность вычисляют по фомуле :

И выбирается альтернатива с наименьшей функцией полезности.

Контрольные вопросы

1. Приведите пример принятия решения в условиях неопределенности. Опишите множество альтернатив ЛПР и матрицу выигрышей.
2. Приведите пример принятия решений, когда ситуация описывается матрицей риска.
3. Возможно ли при принятии решений ситуацию неопределенности перевести в ситуацию риска? Если это возможно, то какие методы могут помочь ?
4. В чем суть критериев принятия решений в условиях неопределенности?
5. В чем отличие в применении критериев принятия решений в условиях неопределенности при задании матрицы выигрышей и при задании матрицы рисков?