| Методы оптимизации |
| Конспект лекций |
Тема 1. Введение в методы оптимизации
Методы оптимизации — дисциплина, занимающаяся разработкой и применением методов нахождения оптимальных решений на основе математического моделирования, статистического моделирования и различных эвристических подходов в различных областях человеческой деятельности.
Исследование начинается тогда, когда для обоснования решений применяется тот или другой математический аппарат. Операция — всякое мероприятие (система действий), объединённое единым замыслом и направленное к достижению какой-то цели . Операция всегда является управляемым мероприятием, то есть зависит от человека, каким способом выбрать параметры, характеризующие её организацию (в широком смысле, включая набор технических средств, применяемых в операции). Решение (удачное, неудачное, разумное, неразумное) — всякий определённый набор зависящих от человека параметров. Оптимальное решение, которое по тем или другим признакам предпочтительнее других. Цель исследования операций — предварительное количественное обоснование оптимальных решений с опорой на показатель эффективности. Само принятие решения выходит за рамки исследования операций и относится к компетенции ответственного лица - лица принимающего решение (ЛПР). Элементы решения — параметры, совокупность которых образует решение: числа, векторы, функции, физические признаки и т. д. Если элементами решения можно распоряжаться в определённых пределах, то заданные условия (ограничения) фиксированы сразу и нарушены быть не могут (грузоподъёмность, размеры, вес). К таким условиям относятся средства (материальные, технические, людские), которыми человек вправе распоряжаться, и иные ограничения, налагаемые на решение. Их совокупность формирует множество возможных решений.
1.2 История возникновения
История возникновения исследования операций уходит корнями в далекое прошлое. Так, еще в 1885 году Фредерик Тейлор пришел к выводу о возможности применения научного анализа в сфере производства. Проблема, рассмотренная им, на первый взгляд, кажется тривиальной: "как оптимальным образом организовать работу землекопов?" Казалось бы, - "Бери больше, кидай дальше, отдыхай, пока летит". Однако применение математического аппарата показало несостоятельность этого принципа. Оказалось, что оптимальный вес груза, позволяющий максимизировать количество перебрасываемого материала (при разумной экономии рабочей силы) значительно меньше того, что может поднять человек при максимальной нагрузке.
Пионером в области перевода сложных военно-стратегических задач на язык математики стал Фредерик Ланчестер. Одним из наиболее значительных результатов, полученных ученым, стало открытие в 1916 г. так называемого квадратичного закона, количественно связывающего достижение победы с двумя основными факторами: численным превосходством живой силы и эффективностью оружия. Было показано, что при одновременном вступлении в бой численное превосходство в живой силе более важно, чем применение более совершенного вооружения, поскольку главную роль играет сосредоточение собственных войск и расчленение сил противника.
В 1917 году датский математик А.К. Эрланг, работавший в телефонной компании, поставил задачу минимизации потерь времени на установление телефонной связи. Полученные им результаты стали основополагающими принципами в теории телефонной связи. Формулы Эрланга (среднее время ожидания вызова и др.) были приняты министерством связи Англии в качестве стандартов для расчета эффективности телефонных линий.
В 1930 г. Г. Левинсон начал применять научный анализ к решению задач, возникающих в торговле. Методика исследования операций была использована для исследования эффективности рекламы, размещения товаров, влияния конъюнктуры на номенклатуру и количество проданных товаров.
Справедливо считать Бодси местом зарождения нового научного направления - исследования операций, называемого в Англии операционным исследованием, а период с 1935 по 1938 г. - временем формирования основных положений этого научного направления. Термин «исследование операций», по-видимому, впервые вошел в обиход в 1939 г.
Военные организации прошли то же эволюционное развитие, что и промышленные, и по тем же самым причинам. Развитие новых отраслей техники и общий рост военных организаций потребовали расчленения и специализации управления вооруженными силами.
Принципиальное различие между эволюционным развитием управления в военном деле и в промышленности можно обнаружить, обратившись к двадцатилетнему промежутку между концом первой и началом второй мировой войны. В течение этого периода развитие тактики и стратегии отставало от развития военной техники. Поэтому нет ничего удивительного в том, что, когда началась воздушная битва за Англию, английские военные руководители и высшее командование обратились за помощью к ученым для эффективного использования новых в то время радиолокаторов в системе противовоздушной обороны. Небольшие группы ученых, согласившихся проводить исследования в этой области, работали над решением этих задач и добились значительного успеха в период 1939–1940 гг. После этого первого успеха использование научных коллективов для решения военных задач стало широко практиковаться как в Англии, так и в Соединенных Штатах, Канаде и Франции. В Англии их работа стала известна как операционные исследования, а в США – как анализ операций, оценка операций, исследование операций, системный анализ, системная оценка, системные исследования и теория организационного управления.
После окончания второй мировой войны судьба исследования операций в Англии и США оказалась различной. В Англии затраты на исследования в области обороны были сокращены. Это привело к освобождению многих операционистов из военной сферы, в то время как перед многими руководителями в промышленности возникла необходимость в модернизации английских заводов. Руководители этих отраслей стремились получить помощь специалистов в исследовании операций, высвобождавшихся из военных организаций. В угольной и металлургической промышленности, на транспорте, в сфере коммунального обслуживания и многих других отраслях экономики начали создаваться промышленные коллективы, занимающиеся исследованием операций.
В отличие от Англии исследования в области обороны в США существенно расширялись, и поэтому после окончания войны применение исследования операций в этой сфере получило дальнейшее развитие.
Сам термин «операция» – термин очень общий. Он означает любое целенаправленное действие. Говоря об операции, мы всегда ассоциируем с ней некоторого субъекта (оперирующую сторону), который формулирует цель операций и в интересах которого последняя проводится. Наряду с субъектом, то есть с оперирующей стороной, мы всегда имеем дело еще с исследователем операции. Он действует в интересах оперирующей стороны. Его задача состоит в том, чтобы найти способ использования ресурса (то есть возможностей оперирующей стороны), обеспечивающий достижение некоторой цели. В такой общей постановке новая дисциплина отвечала потребностям целого ряда направлений человеческой деятельности. Начиная с сороковых годов проблемам исследования операций посвящается все большее и большее количество работ .
Работы, выполненные в нашей стране по исследованию операций, внесли весомый вклад в формирование принципов и системы методов исследования операций. В послевоенные годы были созданы первые ЭВМ и неизмеримо обогатился вычислительный арсенал математики. Это не могло не сказаться на развитии всех теорий, связанных с конкретными задачами практики и, следовательно, на требованиях к проведению разнообразных и сложных расчетов. Появление ЭВМ было одним из важных факторов, стимулирующих объединение разнообразных задач, связанных с проблемами принятия решений в единую научную дисциплину, которая получила название «методы оптимизации».
В настоящее время крупнейшие фирмы и компании используют методы исследования операций и соответствующие подразделения специалистов в своем составе. С помощью методов исследования операций компании решают задачи планирования производства, контроллинга, логистики, маркетинга и прочие комплексные задачи. Применение исследования операций в экономике позволяет понизить затраты и повысить эффективность предприятия.
Дисциплину «Методы оптимизации» нельзя считать дисциплиной чисто математической. Хотя она широко использует математические методы и породила целый ряд направлений прикладной математики. Главным же содержанием дисциплины являются сложные проблемы принятия решений, при изучении которых неформальные методы, представления здравого смысла и способы описания, математическая формализация задач, играли не меньшую роль, чем формальный математический аппарат.
Характерной особенностью исследования операций есть системный подход к поставленной проблеме и анализ. Системный подход является главным методологическим принципом исследования операций. Он заключается в том, что любая задача, которая решается, должна рассматриваться с точки зрения влияния на критерии функционирования системы в целом.
Важной особенностью исследования операций является стремление найти оптимальное решение поставленной задачи . Однако на практике не всегда представляется возможным найти такое решение по причинам:
В таких случаях ограничиваются поиском не оптимальных, а достаточно хороших, с точки зрения практики, решений. Приходится искать компромисс между эффективностью решений и затрат на их поиск. Одна из важнейших особенностей исследования операций - это то, что оно дает инструмент для поиска таких компромиссов.
В рамках исследования операций сформировались и развиваются отдельные направления - линейное программирование, нелинейное программирование, динамическое программирования, теория массового обслуживания теория управления запасами и др.
1.3 Математическое моделирование
Важнейшим понятием в дисциплине "Методы оптимизации" является понятие математической модели объекта и математического метода решения задачи.
Модель – условный упрощенный образ объекта, который создается для изучения его свойств. Моделирование – метод исследования, основанный на построении, изучении и использовании моделей. Моделирование является одним из основных способов получения новых знаний. Необходимость его применения обусловлена сложностью, а порой и невозможностью прямого изучения реального объекта.
Математическая модель – мысленно представимая система, в которой информация об объекте-оригинале закладывается в уравнения, неравенства, функции, логические соотношения. Математическая модель строится для исследования оригинала (объекта, задачи), получения о нем новых знаний, анализа и оценки принимаемых решений в конкретных или возможных ситуациях. Математический метод – способ решения поставленной математической задачи.
Под экономико-математической моделью (ЭММ) понимается математическая модель экономического объекта, процесса или задачи.
Важно понимать, что ни одна математическая модель не может полностью отражать все факторы и взаимосвязи в моделируемом объекте. Строя математическую модель, исследователь выявляет наиболее существенные факторы, определяющие изучаемый объект в данном исследовании, и отбрасывает несущественные детали. Точность, требуемая от модели, определяется конечной целью, для которой она создается, наличием необходимой информации для моделирования, степенью разработки математических методов, необходимых для решения поставленной задачи. Фактически иногда предполагается, что модель будет служить только для одной цели – предсказания качественного поведения переменных.
Практическими задачами экономико-математического моделирования являются анализ и прогнозирование развития экономических объектов и процессов, выработка на основе этого управленческих решений. Однако далеко не всегда результаты, полученные при расчетах по модели, могут использоваться как готовые управленческие решения. Обычно они лишь помогают принять правильное решение.
Тем не менее, экономико-математические модели и методы разрабатываются, изучаются и применяются потому, что проводить эксперименты напрямую с экономическим объектом очень сложно, дорого и часто невозможно. Математическое моделирование дает лучшее понимание объективной реальности и помогает выработать рациональный вариант действия и оптимальное решение в практической деятельности. Математические методы и их реализация в виде вычислительных алгоритмов в пакетах прикладных программ для компьютеров дают эффективный инструмент, позволяющий за короткое время осуществить перебор и сравнение множества вариантов решения и принять из них лучшее.
1.4 Основные этапы операционного исследования
Выработка рекомендаций для ЛПР по выбору наилучшего решения является результатом операционного исследования, выполняемого операционной группой. В этом исследовании можно выделить следующие этапы:
1) постановка задачи:
• выявление проблемы;
• формирование целей и критериев;
• анализ проблемы и отбор факторов, описывающих ее;
• построение математической модели;
2) поиск оптимального решения:
• по отдельным критериям;
• синтез оптимального (компромиссного) решения;
3) принятие и реализация решения:
• принятие решения;
• оценка полученного результата (проверка модели и оценка решения);
• корректировка модели.
В сущности, этап постановки задачи является предметом системного анализа. Задача сначала формулируется с точки зрения заказчика (ЛПР), а затем происходит ее уточнение. При постановке задачи исследователь должен собрать следующую информацию:
1) кто принимает решения и каковы его или (их) цели;
2) на какие параметры задачи может влиять ЛПР (отбор управляемых переменных), каков диапазон этих параметров, каковы связи этих параметров между собой и с другими параметрами задачи;
3) на какие параметры задачи не может влиять ЛПР (отбор неуправляемых переменных), каковы их значения;
4) условия проведения операции.
Условия проведения операций связаны с уровнем информированности ЛПР о результатах реализации решений. С этой точки зрения задачи исследования операций делятся на детерминированные, вероятностные и неопределенные. Задача называется детерминированной (условия определенности), если неуправляемые переменные операции точно известны и не меняются в ходе операции. Задача является вероятностной (условия риска), если неуправляемые переменные операции – случайные величины, для которых известны их вероятностные характеристики. Задача называется неопределенной (условия неопределенности), если нет точных сведений о значениях неуправляемых переменных и неизвестны их законы распределения.
В данном курсе рассматриваются задачи первой группы, то есть задачи в условиях определенности (детерминированные). По сути предлагаемый курс представляет из себя введение в дисциплину исследования операций и предназначен для ознакомления с некоторыми ее разделами и типовыми задачами.