Тема 9.  Планирование и управление запасами

9.1  Обобщенная модель управления запасами

Задача управления запасами возникает, когда необходимо создать запас материальных ресурсов или предметов потребления с целью удовлетворения спроса на заданном интервале времени. При этом требуется определить количество заказываемой продукции и сроки размещения заказов. Целью практически любого решения является минимизация общих издержек, связанных с покупкой и хранением запасов.

Спрос можно удовлетворить путем однократного создания запаса на весь рассматриваемый период времени или посредством создания запаса для каждой единицы времени этого периода. Эти два случая соответствуют избыточному запасу (по отношению к единице времени) и недостаточному запасу (по отношению к полному периоду). При избыточном запасе требуются более высокие удельные (к единице времени) капитальные вложения, но дефицит возникает реже и частота размещения заказов меньше. При недостаточном запасе удельные капитальные вложения снижаются, но частота размещения заказа и риск дефицита увеличиваются. Для этих крайних случаев характерны значительные экономические потери. Следовательно, решения относительно размера заказа и момента его размещения могут основываться на минимизации соответствующих функций общих затрат, включающих затраты, обусловленные потерями от избыточного запаса и дефицита. Не менее важен анализ последствий применения неоптимальной схемы управления запасами, что предполагает анализ модели на чувствительность к изменениям начальных параметров.

Итак, любая модель управления запасами в конечном итоге должна дать ответ на два вопроса:

-     какое количество продукции заказывать;

-     когда заказывать?

Ответ на первый вопрос выражается через размер заказа, определяющий оптимальное количество ресурсов, которое необходимо поставлять каждый раз, когда происходит размещение заказа. В зависимости от ситуации размер заказа может меняться во времени.

Ответ на второй вопрос зависит от типа системы управления запасами. Система может предусматривать периодический контроль состояния запаса через равные промежутки времени или непрерывный контроль. В случае периодического контроля состояния запаса следует обеспечивать поставку в объеме размера заказа через равные промежутки времени. В случае непрерывного контроля состояния запаса необходимо размещать новый заказ, когда уровень запаса достигает так называемой точки заказа.

 Размер и точка заказа обычно определяются из условий минимизации суммарных затрат системы управления запасами, которые можно выразить в виде функции этих двух переменных. В общем виде такую функцию можно представить следующим образом:

На рисунке 9.1 иллюстрируется зависимость четырех компонент затрат обобщенной модели управления запасами от размера заказа, обозначим его через q. Затраты на приобретение становятся важной компонентой суммарных затрат, когда цена единицы продукции зависит от размера заказа, что обычно выражается в виде оптовых скидок с возрастанием размера заказа.

Затраты на оформление возрастают, если спрос в течение заданного периода времени удовлетворяется путем размещения более мелких заказов (увеличивается частота размещения заказа и, следовательно, увеличиваются расходы, связанные с размещением). С увеличением размера заказа уменьшается частота размещения и, следовательно, связанные с этим затраты.

Затраты на хранение запаса, которые могут включать расходы на содержание запаса на складе, эксплутационные расходы,  процент на инвестированный капитал, обычно возрастают с увеличением размера заказа, так как при этом увеличивается  средний объем запасов в хранении.

Потери от дефицита представляют собой расходы, обусловленные отсутствием запаса,  могут оцениваться потенциальными потерями прибыли и ухудшением репутации поставщика у потребителя.

Оптимальный размер заказа, обозначим его через q₀,  соответствует минимуму суммарных затрат (является точкой минимума функции суммарных затрат).

Отметим, что модель управления запасами не обязательно должна включать все четыре вида затрат. Так, например, если цена единицы продукции не меняется, то затраты на приобретение за весь планируемый период есть величина определенная и постоянная. В этом случае данная компонента не будет влиять на форму зависимости “размер заказа - общие затраты”  и на выбор оптимального размера заказа. Поэтому ее включение в модель для определения оптимального размера заказа нецелесообразно (однако при последующем определении общих затрат эта компонента должна быть учтена). Другой пример, на практике  компонента затрат “потери от дефицита” может не учитываться, так как она может не составлять существенную часть общих затрат, или (и) ее  учет затруднен, или (и) чрезмерно усложняет модель системы управления запасами.

Рисунок 9.1 – Графическое представление обобщенной модели управления запасами

В настоящее время разработано большое количество моделей систем управления запасами, базирующихся на  аппарате математического анализа, математического программирования (прежде всего динамического), аппарате теории вероятности. Основными факторами, определяющими выбор типа модели, являются следующие.

1) Характер спроса. Спрос может быть детерминированный (достоверно известный) и вероятностный (то есть спрос – случайная величина, значения которой определяются некоторым вероятностным распределением). Далее, детерминированный спрос может быть  статическим (интенсивность потребления остается неизменной во времени) или динамическим (спрос достоверно известен, но изменяется во времени). Вероятностный спрос может быть стационарным (функция плотности распределения вероятности спроса неизменна во времени) или нестационарным (функция плотности распределения изменяется во времени). На рисунке 9.2 приведена схема классификации спроса. 

 2) Число видов продукции. В системе управления запасами может фигурировать более одного вида продукции, поэтому различают одно- и многопродуктовые модели.

3) Пополнение запаса. Процесс пополнения запаса может осуществляться мгновенно (правильней сказать,  считается, что запас пополняется мгновенно) или равномерно во времени. Мгновенное пополнение может происходить, если заказы поступают от внешнего поставщика. Равномерное пополнение может быть при производстве продукции самой организацией.

4) Общий период времени планирования системы управления запасами может приниматься конечным или бесконечным (на практике, как правило, он принимается конечным).

5) Срок выполнения заказов. Величина интервала времени между моментом размещения заказа и его поставкой может быть достоверно известной или случайной.

Наиболее адекватно отражающими реальность  являются вероятностные нестационарные модели, в которых характер спроса описывается посредством вероятностных нестационарных распределений. С математической точки зрения такие модели являются наиболее сложными из разработанных моделей управления запасами. Простейшие  модели управления запасами  базируются на предположениях детерминированности (определенности) и постоянстве спроса. В реальности случай детерминированного статического спроса  встречается редко, однако в некоторых ситуациях предположение статичности несущественно искажает действительность, что позволяет применять простейшую статическую модель управления запасами на практике. Кроме того, ее изучение является полезным  с целью разъяснения различных подходов и методики решения   задач управления запасами, является введением в существо предмета и проблем, которые необходимо уметь разрешать, моделируя систему управления запасами.

9.2  Однопродуктовая статическая модель управления запасами

Однопродуктовая статическая модель управления запасами основывается на следующих предположениях:

-     спрос на продукцию определенный  и постоянный (статический); коэффициент использования запасов является постоянной величиной, поэтому уровень запасов уменьшается с постоянным коэффициентом;

-     время поставки известно и является постоянной величиной; таким образом,  заказ можно осуществлять в точке с определенными значениями временного параметра и размера запаса (так называемого, уровня повторного заказа), которые обеспечивают получение нового заказа в тот момент, когда уровень запасов становится равным  нулю;

-     отсутствие запасов является недопустимым;

-     в течение каждого цикла запасов делается заказ на одно и то же количество продукции;

-     издержки подачи заказа известны, постоянны и не зависят от размера заказа.

Такую модель можно применять при моделировании системы  управления запасами основных продуктов питания, канцелярских товаров в магазине или  мелких промышленных изделий, используемых крупной фирмой в производстве и поступающих от внешнего поставщика.

В любой системе управления запасами уровень запасов изменяется в соответствии с циклической моделью. Процесс снижения уровня запасов определяется соответствующей моделью спроса, в данном случае уровень запасов уменьшается с постоянным коэффициентом. В некоторый момент времени в точке с определенными значениями временного параметра и размера запаса, обозначим его через q_н, делается новый заказ. По прошествии  некоторого времени поставки, обозначим его через L, заказ будет получен, и уровень запасов возрастет. После этого начинается новый цикл управления запасами. В однопродуктовой статической модели все циклы запасов являются одинаковыми, а максимальное количество продукции, которое находится в запасе, совпадает с размером заказа q. Таким образом, можно представить схему управления запасами для однопродуктовой статической модели (см. рисунок 9.3).

Чем меньше размер заказа q, тем чаще нужно размещать новые заказы. При этом уменьшается средний уровень запаса, и, следовательно, уменьшаются затраты на хранение запасов. С другой стороны, увеличиваются затраты на оформление заказов. Таким образом, величина q  должна выбираться так, чтобы эти два вида затрат были сбалансированы.

 
Рисунок 9.3 – Схема управления запасами для однопродуктовой статической модели

Введем следующие обозначения:

q – объем заказа (ед. продукции/заказ),  q > 0;

D – интенсивность спроса на продукцию (ед. продукции в ед. времени);

C₀ – затраты на оформление одного заказа, или стоимость подачи (ден. ед./заказ);

C_h – затраты на хранение единицы продукции в запасе (ден. ед. в ед. времени).

Суммарные затраты в единицу времени TC(q) как функцию от q можно представить в следующем виде:

TC(q) = Затраты на оформление заказов в единицу времени +

              + Затраты на хранение  запасов в единицу времени =

 = Затраты на оформление одного заказа ´ Число заказов, подаваемых в единицу    времени +  Затраты на хранение единицы продукции в единицу времени   ´ Средний размер запаса.

Заметим, что в модель  функции суммарных затрат не включены затраты на приобретение продукции за весь планируемый период, так как предполагается, что цена единицы продукции не меняется и включение затрат на приобретение  не повлияет на форму зависимости “размер заказа - общие затраты”  и на выбор оптимального размера заказа. Также не включена компонента затрат “потери от дефицита”, так как  имеется условие о том, что отсутствие запасов является недопустимым.

Если потребность в продукции составляет D единиц продукции в единицу времени, а каждый заказ подается на партию в q единиц, тогда общее количество заказов в единицу времени составит. В рассматриваемой модели запас достигает наивысшего уровня в момент поставки заказа  размером q, уровень запасов уменьшается линейно и принадлежит промежутку от q до нуля, следовательно, средний уровень запасов равен  . Стоимость хранения единицы продукции C_h  определяется либо как фиксированная величина за весь период времени, либо как процент от стоимости единицы продукции. Для расчета издержек в этой сфере применяются разнообразные методы, но в целом C_h  характеризует определенную часть общих затрат системы хранения, стоимость сохранности или повреждения запасов, величину процентов с денежных ссуд, замороженных в форме запасов.

Таким образом, размер одного заказа q в однопродуктовой статической модели определяется из условия минимизации следующей функции суммарных затрат  в единицу времени:

TC(q) =  ® min.

Для определения оптимального значения размера заказа (точки минимума  функции TC(q)) выпишем необходимое  и достаточное условия  существования минимума функции в точке. Функция TC(q) принимает минимальное значение в некоторой точке q₀ тогда и только тогда, когда первая производная функции в точке будет равна нулю, а вторая будет иметь положительное значение, то есть

Имеем:

Отсюда

Выбираем положительное значение q₀, при этом

Таким образом, оптимальное значение размера заказа (точка минимума  функции TC(q)) определяется следующим выражением, называемым формулой экономичного размера заказа (EOQ):

.                                      (9.1)

Итак, оптимальная стратегия модели предусматривает заказ q₀   через каждые t₀= единиц времени. Так как все циклы заказов одинаковы, то интервал повторного заказа также будет равен  единиц времени. В течение всего периода планирования потребуется N= заказов. Минимальные затраты системы управления запасами TC(q₀), получаемые путем непосредственной подстановки значения q₀  в функцию затрат, составят

TC(q₀) = .

Дадим графическое представление функции суммарных затрат и ее компонент (рисунок 9.4). Затраты на хранение  запасов пропорциональны размеру заказа, график этой компоненты  представляет собой прямую, проходящую через начало координат. Затраты на оформление заказов обратно пропорциональны размеру заказа, график этой компоненты  представляет собой гиперболу. График функции суммарных затрат – выпуклая вниз кривая, значения на которой определяются как сумма значений двух видов издержек. Точка минимума на графике функции суммарных затрат соответствует ситуации, когда оба вида издержек равны друг другу. Кроме того, можно отметить, что в  некоторой окрестности  точки минимума график функции суммарных затрат приближен к прямой, параллельной оси абсцисс. Это означает, что в данной области суммарные затраты системы управления запасами не обладают высокой чувствительностью по отношению к малым изменениям в размере заказа и для некоторого интервала   q   принимают приблизительно одно и то же значение.  Этот факт позволяет выбрать необходимый размер заказа, не приводящий к значительному увеличению  суммарных затрат (на практике значение оптимального размера заказа q₀ может быть взято как округление или как целая часть от вычисленного по формуле 9.1  значения EOQ).

Рисунок 9.4 – Графики функций затрат на оформление заказов, затрат на хранение запасов и суммарных затрат системы управления запасами

Определим уровень повторного заказа. Пусть время поставки заказа от поставщика составляет L. Тогда можно определить точку возобновления заказа. Рисунок 9.3 иллюстрирует случай, когда точка возобновления заказа опережает на L  единиц времени ожидаемую поставку.  Поскольку   величина спроса постоянна, можно определить количество продукции, которое используется в течение периода поставки заказа. Это количество продукции является одновременно и уровнем повторного заказа .

Так, например, пусть планируемый временной промежуток –  год,  D единиц продукции – объем годового спроса на продукцию, время поставки заказа составляет L рабочих дней, количество рабочих дней в году – 300. Тогда в течение периода поставки будет использовано   единиц продукции. Таким образом, новый заказ следует подавать, когда уровень запасов снижается до величины

=,

являющейся уровнем повторного заказа. В этом случае новый заказ будет получен в тот момент, когда уровень запасов станет равным нулю.

На практике реализуется непрерывный контроль уровня запаса до момента достижения очередной точки возобновления заказа. Поэтому рассматриваемую модель называют моделью непрерывного контроля состояния заказа.

9.3 Однопродуктовая статическая модель с изменяющимися удельными затратами на приобретение товаров

На практике цена единицы продукции  может зависеть от размера закупаемой партии и меняться скачкообразно. Так, например, на заказы большого объема обычно предоставляются скидки. В этом случае в модели управления запасами необходимо учесть затраты на приобретение и проанализировать, как повлияет предоставление скидки на общие затраты системы управления запасами. Ведь заказы на более крупные партии увеличат затраты на хранение, однако данное увеличение может быть частично компенсировано снижением закупочной цены.

Если в модели учесть затраты на закупку продукции, функция общих затрат   системы управления запасами примет следующий вид:

 ,

где С – цена покупки единицы продукции (ден. ед.). Если цена покупки постоянна и не зависит от q, ее включение в функцию общих затрат приводит к перемещению графика функции TC(q)  параллельно вверх на CD единиц, не изменяя при этом его формы и оптимального размера заказа.

Рассмотрим однопродуктовую статическую модель управления запасами с изменяющимися удельными затратами на приобретение товаров. Предположим, что цена единицы продукции равна С₁ при  размере заказа 0 < q < Q. Для заказов, размер которых не меньше некоторой величины  Q, предоставляется скидка, в соответствии с которой цена за единицу продукции снижается до величины С₂   (С₂ < С₁). Тогда для определения оптимального размера заказа q₀ в модели системы управления запасами необходимо учесть затраты на  приобретение продукта. Функция общих затрат   будет  следующей:

График функции  – кривая, имеющая точку разрыва при q=Q. Если существуют дополнительные скидки для заказов, размер которых превышает некоторые оговоренные величины, то  функция  общих затрат  будет иметь несколько точек разрыва.

Для определения оптимального размера заказа в общем случае необходимо:

1)  не принимая во внимание ограничения на величину q, для каждого уровня цен С_i найти размер заказа q₀(С_i), которому соответствует минимальное значение суммарных затрат на оформление заказов и хранение запасов. Для определения q₀(С_i)  использовать формулу экономичного размера заказа (EOQ):

.

Заметим, если затраты на хранение единицы продукции  С_h  зависят от цены единицы продукции, то для каждого уровня цен будет  свое значение EOQ. Иначе значения q₀(С_i)  будут совпадать;

2)   для каждого интервала  размера заказа  определить  минимальное значение общих затрат. Это будет значение функции  в точке q₀(С_i), если  q₀(С_i) попадает в интервал действия цены С_i, иначе минимальное значение общей стоимости определяется  в крайней точке  интервала;

3)   из  полученных для каждого интервала минимальных значений общих затрат выбрать наименьшее, а соответствующий этим затратам  размер заказа принять оптимальным q₀.

Рисунок 9.5 – График функции общих затрат

На рисунке 9.5 (а,б,в) изображены возможные при двух уровнях цен варианты графика функции  общих затрат .   Очевидно, что оптимальный размер заказа q₀ зависит от того, где по отношению к q₀(С_i) каждого уровня цен находится точка разрыва Q. На рисунке 9.5(а) иллюстрируется случай, когда экономичный размер заказа q₀(С₁)  попадает в интервал действия цены   С₁, а экономичный размер заказа q₀(С₂)  не принадлежит интервалу действия цены С₂ (функция общих затрат  возрастает  при q>Q). При этом значение функции  в точке q₀(С₁)   превосходит значение функции в точке Q (то есть ). Следовательно, оптимальный размер заказа q₀ в этом случае равен значению Q, общие затраты системы управления запасами при таком размере заказа будут минимальными и равными .  Таким образом, при планировании системы управления запасами есть смысл воспользоваться предоставляемой скидкой  в цене на единицу товара  и делать заказы объемом Q единиц товара (при условии отсутствия каких-либо  факторов, препятствующих этому, например, ограничения   площади  хранения).

На рисунке 9.5(б) иллюстрируется случай, когда экономичный размер заказа q₀(С₁)  также попадает в интервал действия цены   С₁, а экономичный размер заказа q₀(С₂)  не принадлежит интервалу действия цены С₂. Однако при этом значение функции  в точке q₀(С₁)   меньше значения функции в точке Q (то есть ). Оптимальный размер заказа q₀ в этом случае равен значению q₀(С₁), общие затраты системы управления запасами при таком размере заказа будут минимальными и равными . Таким образом, при планировании системы управления запасами нет смысла пользоваться предоставляемой скидкой.

На рисунке 9.5(в) иллюстрируется случай, когда экономичный размер заказа q₀(С₁)  не попадает в интервал действия цены   С₁ (функция общих затрат  убывает при 0<q<Q), а размер заказа q₀(С₂)   принадлежит интервалу действия цены С₂. Тогда . Оптимальный размер заказа q₀ в этом случае равен значению q₀(С₂), общие затраты системы управления запасами при таком размере заказа будут минимальными и равными . Таким образом, при планировании системы управления запасами есть смысл воспользоваться предоставляемой скидкой  в цене на единицу товара  и делать заказы объемом q₀(С₂) единиц товара (при условии отсутствия каких-либо  факторов, препятствующих этому).

В заключении еще раз отметим, что степень сложности той или иной модели управления запасами определяется главным образом характером спроса. Здесь рассмотрели самую простую модель задачи при статическом спросе. Решение задачи с динамическим, стохастическим спросом требуют применения более сложных математических методов.

наверх