2.1. Случайные величины

Определение. Случайной величиной называют переменную величину, которая в зависимости от исхода испытания случайно принимает одно значение из множества возможных значений.

Примеры: Число появления герба при трех бросаниях монеты.

Случайные величины обозначают прописными буквами X,Y,Z,…, а их возможные значения – x,y,z,…

Ряд распределения ( закон распределения)

Соотношение, устанавливающее тем или иным способом связь между возможными значениями случайной величины и их вероятностями, называется рядом распределения:

где .

Графическое изображение ряда распределения называется многоугольником распределения.

2.2. Функция распределения

Ряд распределения не является исчерпывающей характеристикой, он существует только для дискретных случайных величин, для непрерывной случайной величины такой характеристики построить нельзя.

Функцией распределения случайной величины X называется функция , выражающая вероятность того, что X принимает значения меньше, чем x: .

Свойства :

1) 0≤ ≤ 1;

2) Функция есть неубывающая функция;

3) ;

4) ;

5) Для дискретных случайных величин есть разрывная ступенчатая функция, непрерывная слева.

Пример 1.

Стрелок производит по мишени три выстрела. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле 0,3. Построить ряд распределения числа попаданий.

Решение.

Строим ряд распределения вероятностей, используя формулу:

Пример 2.

Случайная величина X задана рядом распределения

Найти функцию распределения случайной величины X и построить ее график.

Решение.

1. Если , то .

2. Если , то .

3. Если , то .

4. Если , то

5. Если , то .

Строим график.

2.3. Числовые характеристики дискретных случайных величин

Закон распределения полностью задает дискретную случайную величину. Однако часто встречаются случаи, когда закон распределения случайной величины неизвестен. В таких случаях случайную величину изучают по ее числовым характеристикам. Одной из таких характеристик является математическое ожидание.

Пусть некоторая случайная величина Х с конечным числом своих значений задана законом распределения:

Определение. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех возможных значений величины Х на соответствующие вероятности, или ( ее среднее значение), вычисляемое по формуле:

Пример 1.

Случайная величина Х – число очков, выпавших при однократном бросании игральной кости. Определить M(X).

Решение.

Имеем

Свойства математического ожидания.

1. Математическое ожидание постоянной величины С равно этой величине.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания, т.е. М(СХ) = СМ(Х).

3. Математическое ожидание суммы двух случайных величин X и Y равно сумме их математических ожиданий:

Определение. Случайные величины X и Y называются независимыми, если закон распределения каждой из них не зависит от того, какое возможное значение приняла другая величина.

Пример двух независимых случайных величин – суммы выигрыша по каждому из двух билетов по двум различным денежно-вещевым лотереям.

4. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

5. Математическое ожидание разности двух случайных величин X и Y равно разности их математических ожиданий:

Пример 1.

Найти математическое ожидание случайной величины Z = X + 2Y, если известны математические ожидания случайных величин X и Y :
M(X) = 5, M(Y) = 3.

Пример 2.

Независимые случайные величины заданы законами распределения:

Найти математическое ожидание М(YХ).

2.4. Дисперсия дискретных случайных величин

Определение. Дисперсией случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

Величина x – M(X) называется отклонением случайной величины от ее математического ожидания.

Свойства дисперсии

1. Дисперсия постоянной величины С равна нулю.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его в квадрат

3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин

4. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин

Пример.

Дисперсия случайной величины Х равна 3. Найти дисперсию следующих величин: а) –3Х, б) 4Х–3.

Средним квадратическим отклонением случайной величины X называется корень квадратный из ее дисперсии:

Пример 1.

Случайная величина X – число очков, выпавших при однократном бросании игральной кости. Определить .

Решение.

Имеем

2.5. Непрерывные случайные величины

Для непрерывной случайной величины, в отличие от дискретной, нельзя построить ряд распределения. Поэтому непрерывную случайную величину изучают другим способом.

Пусть Х - непрерывная случайная величина с возможными значениями из (а,в). Тогда для нее существует функция распределения

Свойства функции распределения:

1. 0 ≤ F(х) ≤ 1;

2. F(х) - неубывающая функция;

3. P(a ≤ x <в) = F(a) – F(в);

4. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет какое-либо заранее заданное значение, равна нулю.

5. Вероятности попадания непрерывной случайной величины в интервал, сегмент, полуинтервал с одними и теми же концами одинаковы

6. Если возможные значения случайной величины Х принадлежат интервалу (а,d) , то

1. F(х) = 0 при х ≤ a;

2. F(х) = 1 при х ≤ d;

2.6. Дифференциальная функция распределения (плотность распределения)

Определение. Плотностью распределения f(x) (или дифференциальной функцией распределения) непрерывной случайной величины называется первая производная от ее функция распределения

Свойства плотности распределения:

1) f(x)≥ 0;

2) f(-∞ )= f(-∞) = 0;

3) f(x) – кусочно непрерывная функция;

4) F(х) =

5)

6)

Вероятность попадания случайной величины Х на участок от α до β выражается формулой

Пример 1.

Возможно ли, что при некотором значении аргумента:

1. Функция распределения больше 1?

2. Плотность распределения больше 1?

3. Функция распределения отрицательной?

4. Плотность распределения отрицательной?

Пример.

Задана плотность распределения непрерывной случайной величины:

Найти константу С и вычислить Р (х < 3).

Решение.

На основании свойств плотности распределения имеем:

Таким образом

На основании свойства 5 имеем

2.7. Математическое ожидание и дисперсия непрерывных случайных величин

Определение. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х с плотностью распределения f(x) называется

Определение. Дисперсией непрерывной случайной величины Х математическое ожидание которой М(Х) = а и функция f(x) является плотностью распределения, называется величина несобственного интеграла:

Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины имеют те же свойства, что и дискретная случайная величина.

Наряду с дисперсией для характеристики разброса непрерывной случайной величины вокруг ее среднего значения используется среднее квадратическое отклонение

Пример.

Случайная величина Х задана плотностью распределения

Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Пример.

Случайная величина задана функцией распределения

Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение

2.8. Некоторые законы распределения случайных величин

Равномерное распределение

Равномерным называется распределение таких случайных величин, все значения которых лежат на и имеют постоянную плотность вероятности на этом отрезке.

Рис

Функция распределения этого закона распределения имеет вид:

Пример 1.

Случайная величина – отклонение емкости конденсатора от номинала равномерно распределено на отрезке [-50;50]. Найти , , MX, DX, . Построить график .

Решение.

В задаче a=-50, b=50, поэтому

Построим график .

Рис

Функция распределения вероятности случайной величины:

Ее график имеет вид:

Рис

Биномиальный закон распределения. Закон Пуассона>

Если вероятность наступления случайного события в каждом испытании равна p, то, как известно, вероятность того, что при n испытаниях событие осуществляется m раз, определяется формулой Бернулли:

Закон распределения случайной величины X, которая может принимать (n+1) значение (0,1,...n), описывается формулой Бернулли, называется биномиальным.

Закон распределения случайной величины X, которая может принимать любые целые неотрицательные значения (0,1,...n), описываемый формулой , носит название закона Пуассона.

Для биномиального закона ; .

Для закона Пуассона: .

Пример 1.

Производится три независимых опыта, в каждом из которых событие A происходит с вероятностью 0,4. Рассматривается случайная величина X – число наступления события A в трех испытаниях. Построить ряд распределения и функцию распределения случайной величины X. Найти MX, DX, .

Решение.

Ряд распределения:

Рис

Пример 2.

Радиоаппаратура состоит из 100 электроэлементов. Вероятность отказа одного элемента в течение одного года работы равно 0,001 и не зависит от состояния других элементов. Какова вероятность отказа двух и менее двух электроэлементов за год?

Решение.

Считая случайное число X отказавших элементов подчиняющихся закону Пуассона

где , получим: вероятность отказа ровно двух элементов

вероятность отказа не менее двух элементов

т.е.

Показательное (экспоненциальное) распределение. Функция надежности

Аналогом закона Пуассона для непрерывных случайных величин служит показательный закон распределения, функция плотности распределения которого имеет вид

где λ>0 постоянный параметр.

Если T – непрерывная случайная величина, выражающая продолжительность безотказной работы какого-либо элемента, а λ – среднее число отказов в единицу времени (интенсивность отказов), то продолжительность времени t безотказной работы этого элемента можно считать случайной величиной, распределенной по показательному закону распределения с функцией распределения

которая определяет вероятность отказа элемента за время t, а F( t ) называется функцией надежности.

Пример 1.

Время T телефонного разговора – случайней величина, распределенная по показательному закону распределения с параметром λ=0,4. Записать f(t), F(t). Найти MX , DX. Определить вероятность того, что разговор будет продолжаться более трех минут.

Решение.

Пример 2.

Непрерывная случайная величина X распределена по показательному закону:

Найти вероятность того, что в результате испытаний X попадет в интервал (0,2;0,5).

Решение.

По формуле имеем

Нормальный закон распределения. Функция Лапласа

Нормальный закон распределения характеризуется плотностью

где – математическое ожидание случайной величины; – среднее квадратичное отклонение величины .

– называется функцией Лапласа, или интеграл вероятностей, функция ошибок.

Иногда используют другие формы функции Лапласа, например,

– нормированная функция Лапласа.

Отметим следующие свойства функции Лапласа:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Пример 1.

Пусть случайная величина распределена по нормальному закону с математическим ожиданием m=30 и σ=10. Найти вероятность того, что примет значение, принадлежащее интервалу (10; 50).

Решение.

Пользуясь формулой , получим

По таблице приложения . Отсюда искомая вероятность

Пример 2.

Пусть случайная величина распределена по нормальному закону с параметрами a=20 и σ=10. Найти .

Решение.

Используя формулу , имеем

По таблице приложения находим .

Поэтому .

Пример 3.

Случайная величина распределена по нормальному закону с математическим ожиданием =0. Задан интервал (α;β), не включающий начало координат. При каком значения среднего квадратического отклонения σ вероятность попадания в (α;β) достигает максимума?

Решение.

Для решения задачи сделаем схематический чертеж:

Значение σ найдем, дифференцируя по σ вероятность попадания в (α;β) и приравнивая производную к нулю. Имеем

Отсюда

и, следовательно,

Для малого интервала

2.9. Примеры решения задач по теме

Дискретные случайные величины

Задача 1. В связке из 3 ключей только один ключ подходит к двери. Ключи перебирают до тех пор, пока не отыщется подходящий ключ. Построить закон распределения для случайной величины – числа опробованных ключей.

Решение. Число опробованных ключей может равняться 1, 2 или 3. Если испытали только один ключ, это означает, что этот первый ключ сразу подошел к двери, а вероятность такого события равна 1/3. Итак, Далее, если опробованных ключей было 2, т.е. =2, это значит, что первый ключ не подошел, а второй – подошел. Вероятность этого события равна 2/3×1/2=1/3. То есть, Аналогично вычисляется вероятность В результате получается следующий ряд распределения:

Задача 2. Построить функцию распределения для случайной величины из задачи 1.

Решение. Случайная величина имеет три значения 1, 2, 3, которые делят всю числовую ось на четыре промежутка: . Если x<1, то неравенство невозможно (левее x нет значений случайной величины ) и значит, для такого x функция =0.

Если 1≤x<2, то неравенство возможно только если =1, а вероятность такого события равна 1/3, поэтому для таких x функция распределения =1/3.

Если 2≤x<3, неравенство означает, что или =1, или =2, поэтому в этом случае вероятность P(=1)+P(=2)=2/3, т.е. =2/3.

И, наконец, в случае x≥3 неравенство выполняется для всех значений случайной величины , поэтому P(=1)+P(=2)+P(=3)=1, т.е.
=1.

Итак, мы получили следующую функцию:

Задача 3. Совместный закон распределения случайных величин и η задан c помощью таблицы

Вычислить частные законы распределения составляющих величин и η. Определить, зависимы ли они. Вычислить вероятность .

Решение. Частное распределение для получается суммированием вероятностей в строках:

Аналогично получается частное распределение для η:

Полученные вероятности можно записать в ту же таблицу напротив соответствующих значений случайных величин:

Теперь ответим на вопрос о независимости случайных величин и η. С этой целью для каждой клетки совместного распределения вычислим произведение (т.е. сумм по соответствующей строке и столбцу) и сравним его со значением вероятности в этой клетке. Например, в клетке для значений =-1 и η=1 стоит вероятность 1/16, а произведение соответствующих частных вероятностей 1/4×1/4 равно 1/16, т.е. совпадает с совместной вероятностью. Это условие так же проверяется в оставшихся пяти клетках, и оно оказывается верным во всех. Следовательно, случайные величины и η независимы.

Заметим, что если бы наше условие нарушалось хотя бы в одной клетке, то величины следовало бы признать зависимыми.

Для вычисления вероятности отметим клетки, для которых выполнено условие . Таких клеток всего три, и соответствующие вероятности в этих клетках равны 1/8, 3/16, 3/8. Их сумма равна 11/16, это и есть искомая вероятность. Вычисление этой вероятности можно записать так:

Задача 4. Пусть случайная величина ξ имеет следующий закон распределения:

Вычислить математическое ожидание M, дисперсию D и среднеквадратическое отклонение σ.

Решение. По определению математическое ожидание ξ равно

Далее

а потому

Среднее квадратическое отклонение .

Задача 5. Для пары случайных величин из задачи 3 вычислить .

Решение. Воспользуемся формулой . А именно, в каждой клетке таблицы выполняем умножение соответствующих значений x_i и y_i, результат умножаем на вероятность p_ij, и все это суммируем по всем клеткам таблицы. В итоге получаем:

Задача 6. Для пары случайных величин из задачи 3 вычислить ковариацию cov(ξ,η).

Решение. В предыдущей задаче уже было вычислено математическое ожидание . Осталось вычислить и . Используя полученные в решении задачи 3 частные законы распределения, получаем

и значит,

чего и следовало ожидать вследствие независимости случайных величин.

Задача 7. Случайный вектор (ξ,η) принимает значения (0,0), (1,0), (–1,0), (0,1) и (0,–1) равновероятно. Вычислить ковариацию случайных величин ξ и η. Показать, что они зависимы.

Решение. Поскольку Р(ξ=0)=3/5, P(ξ=1)=1/5, P(ξ=–1)=1/5; Р(η=0)=3/5, P(η=1)=1/5, P(η=–1)=1/5, то

Получаем cov(ξ,η)=М(ξη)–МξМη=0, и случайные величины некоррелированны. Однако они зависимы. Пусть ξ=1, тогда условная вероятность события {η=0} равна Р(η=0|ξ=1)=1 и не равна безусловной Р(η=0)=3/5, или вероятность {ξ=0,η=0} не равна произведению вероятностей: Р(ξ=0,η=0)=1/5≠Р(ξ=0)Р(η=0)=9/25. Следовательно, ξ и η зависимы.

Задача 8. Случайные приращения цен акций двух компаний за день ξ и η имеют совместное распределение, заданное таблицей:

Найти коэффициент корреляции.

Решение. Прежде всего вычисляем Mξη=0,3–0,2–0,1+0,4=0,4. Далее находим частные законы распределения ξ и η:

Определяем Mξ=0,5–0,5=0; Mη=0,6–0,4=0,2; Dξ=1; Dη=1–0,22=0,96; cov(ξ,η)=0,4. Получаем

Задача 9. Случайные приращения цен акций двух компаний за день имеют дисперсии Dξ=1 и Dη=2, а коэффициент их корреляции ρ=0,7. Найти дисперсию приращения цены портфеля из 5 акций первой компании и 3 акций второй компании.

Решение. Используя свойства дисперсии, ковариации и определение коэффициента корреляции, получаем:

Задача 10. Распределение двумерной случайной величины задано таблицей:

Найти условное распределение и условное математическое ожидание η при ξ=1.

Решение. Условное математическое ожидание равно

Из условия задачи найдем распределение составляющих η и ξ (последний столбец и последняя строка таблицы).

Поскольку , то условные вероятности находятся по формулам

а искомое условное математическое ожидание равно

Непрерывные случайные величины

Задача 1. Плотность распределения непрерывной случайной величины имеет вид:

Определить константу C, построить функцию распределения и вычислить вероятность .

Решение. Константа C находится из условия . В результате имеем:

, откуда C=3/8.

Чтобы построить функцию распределения , отметим, что интервал [0,2] делит область значений аргумента x (числовую ось) на три части: Рассмотрим каждый из этих интервалов. В первом случае (когда x<0) вероятность события (ξ

так как плотность ξ на полуоси (-∞,0) равна нулю. Во втором случае

Наконец, в последнем случае, когда x>2,

так как плотность обращается в нуль на полуоси (2,∞).

Итак, получена функция распределения

Следовательно,

Задача 2. Для случайной величины ξ из задачи 1 вычислить математическое ожидание и дисперсию.

Решение.

Далее,

, и значит,

Задача 3. Пусть задана случайная величина . Вычислить вероятность .

Решение. Здесь a=1 и σ=2. Согласно указанной выше формуле, получаем:

Задача 4. Случайная величина ξ равномерно распределена на отрезке [0, 2]. Найти плотность случайной величины .

Решение.

Из условия задачи следует, что

Далее, функция является монотонной и дифференцируемой функцией на отрезке [0, 2] и имеет обратную функцию , производная которой равна . Кроме того, . Следовательно,

Значит,

Задача 5. Пусть двумерный случайный вектор (ξ, η) равномерно распределен внутри треугольника . Вычислить вероятность неравенства ξ>η.

Решение. Площадь указанного треугольника Δ равна S(Δ)=2 (см. рис. 7.1). В силу определения двумерного равномерного распределения совместная плотность случайных величин ξ, η равна

Событие {ξ, η} соответствует множеству на плоскости, т.е. полуплоскости. Тогда вероятность

Рис. 7.1.

На полуплоскости B совместная плотность равна нулю вне множества Δ и 1/2 – внутри множества Δ. Таким образом, полуплоскость B разбивается на два множества: B₁=B∩Δ и B₂=B. Следовательно, двойной интеграл по множеству B представляется в виде суммы интегралов по множествам B₁ и B₂, причем второй интеграл равен нулю, так как там совместная плотность равна нулю. Поэтому

Если задана совместная плотность распределения случайной пары (ξ,η), то плотности и составляющих ξ и η называются частными плотностями и вычисляются по формулам:

Для непрерывно распределенных случайных величин с плотностями , независимость означает, что при любых х и у выполнено равенство

Задача 6. В условиях предыдущей задачи определить, независимы ли составляющие случайного вектора ξ и η.

Решение. Вычислим частные плотности и . Имеем:

Аналогично,

Очевидно, что в нашем случае , и потому случайные величины ξ и η зависимы.

Числовые характеристики для случайного вектора (ξ,η) можно вычислять с помощью следующей общей формулы. Пусть — совместная плотность величин ξ и η, а ψ(х,у) — функция двух аргументов, тогда

В частности,

Задача 7. В условиях предыдущей задачи вычислить .

Решение. Согласно указанной выше формуле имеем:

Представив треугольник Δ в виде

двойной интеграл можно вычислить как повторный:

Задача 8. Пусть ξ и η — независимые случайные величины, распределенные по показательному закону с параметром λ=2. Вычислить плотность суммы ξ + η.

Решение. Поскольку ξ и η распределены по показательному закону с параметром λ=2, то их плотности равны

Следовательно,

Поэтому

Если x<0, то в этой формуле аргумент функции отрицателен, и поэтому . Следовательно, . Если же x≥0, то имеем:

Таким образом, мы получили ответ:

Задача 9. Двумерный случайный вектор (ξ,η) равномерно распределен внутри треугольника . Найти условное распределение ξ при условии η=y и функцию регрессии .

Решение. Как было показано ранее (см. задачи 2 и 3),

Поделив первую плотность на вторую, получаем условную плотность:

Таким образом, речь идет о равномерном распределении на промежутке (0, 2–y). Функцию регрессии вычисляем как математическое ожидание равномерного распределения. Получаем =(2–y)/2, 0 < y < 2.

2.10. Контрольные задания

1. Случайная величина Х в интервале (2, 4) задана плотностью распределения вне этого интервала . Найти моду, математическое ожидание и медиану величины Х.

2. Случайная величина Х в интервале (3, 5) задана плотностью распределения вне этого интервала . Найти моду, математическое ожидание и медиану величины Х.

3. Случайная величина Х в интервале (0, π/2) задана плотностью распределения вне этого интервала . Найти дисперсию функции , не находя предварительно плотности распределения Y.

4. Случайная величина Х в интервале (0, 1) задана плотностью распределения вне этого интервала . Найти начальные и центральные моменты первого, второго, третьего и четвертого порядков.

5. Случайная величина Х в интервале (0, π/2) задана плотностью распределения вне этого интервала . Найти дисперсию функции , находя предварительно плотности распределения Y.

6. Заданы плотности равномерно распределенных независимых случайных величин Х и Y: в интервале (0, 1), вне этого интервала в интервале (0, 1), вне этого интервала . Найти функцию распределения и плотность распределения случайной величины Z=X+Y. Построить график плотности распределения .

7. Задана функция распределения двумерной случайной величины

Найти двумерную плотность вероятности системы (Х, Y).

8. Задана двумерная плотность вероятности системы случайных величин (Х, Y)

Найти функцию распределения системы.

9. Задана плотность совместного распределения непрерывной двумерной случайной величины (Х, Y): в квадрате вне квадрата . Найти: а) математические ожидания и дисперсии составляющих; б) корреляционный момент.