3.1. Неравенство Чебышёва

Пусть случайная величина X такова, что математическое ожидание её квадрата существует и конечно: .

Тогда для любого y>0 справедливо неравенство:

Неравенство Чебышёва записывают и в других формах. Например, применим его к случайной величине X–MX, в предположении, что существует дисперсия DX:

Для противоположного события:

Применим неравенство Чебышёва в последней форме к среднему арифметическому попарно некоррелированных случайных величин X₁, X₂, ... , X_n c одинаковыми математическими ожиданиями MX_i=a и одинаковыми дисперсиями DX_i=σ²:

Перейдём здесь к пределу при n→+∞:

Мы получили так называемый закон больших чисел в форме Чебышёва.

3.2. Закон больших чисел в форме Чебышёва

Среднее арифметическое отличается от истинного среднего значения a меньше сколь угодно малого y>0 при достаточно большом числе наблюдений с вероятностью, сколь угодно близкой к единице.

В частности, закон больших чисел Чебышёва действует в схеме повторных независимых равноточных измерений без систематической погрешности любой физической величины a и оправдывает нашу интуитивную веру в среднее арифметическое как хорошее приближение для a. Мы получаем уверенность в том, что при достаточно большом числе измерений мы будем знать истинное значение измеряемой величины a сколь угодно точно со сколь угодно большой вероятностью. Однако закон больших чисел указывает лишь очень грубо, сколько наблюдений достаточно выполнить, чтобы добиться заданной точности: если мы хотим, чтобы , достаточно произвести наблюдений.

3.3. Предельные теоремы

3.3.1. Локальная теорема Муавра-Лапласа

Теорема Муавра-Лапласа устанавливает условия, при которых биномиальную случайную величину можно приближённо рассматривать как нормальную.

Пусть X ~ B(n, p). При n→∞ и любых фиксированных a и b, a≤b:

для любых m, удовлетворяющих неравенствам: .

Таким образом, при больших n, умерено больших m и фиксированном p (0 < p < 1) можно приближённо заменять биномиальное распределение нормальным: .

Ошибка приближения зависит от того, достаточно ли велико n, не слишком ли близко p к 0 или к 1 и каково интересующее нас значение m. Эта ошибка в настоящее время хорошо изучена и оценена; при необходимости всю нужную информацию можно найти в литературе.

3.3.2. Интегральная теорема Муавра-Лапласа

Пусть X ~ B(n, p). Тогда при n→∞ и любых фиксированных a и b, a≤b:

Теорема Муавра-Лапласа позволяет уточнить связь относительной частоты и вероятности. Поскольку абсолютная частота m события A, имеющего вероятность p, распределена по биномиальному закону B(n, p), то

По этой формуле можно приближённо находить вероятность P заданного отклонения относительной частоты от вероятности, вычислять необходимое число опытов n, при котором с данной вероятностью P указанное отклонение не превышает y. Исходное уравнение выглядит так:

3.3.3. Центральная предельная теорема

Переформулируем интегральную теорему Муавра-Лапласа, введя вспомогательные случайные величины, связанные со схемой Бернулли:

Тогда , и теорему Муавра–Лапласа можно сформулировать так:

т. е. центрированная и нормированная сумма S_n достаточно большого числа случайных величин X_i приближённо распределена по стандартному нормальному закону. Оказалось, что аналогичное утверждение верно для весьма широкого класса слагаемых, и центральная предельная теорема указывает точные ограничения (оказавшиеся весьма слабыми), которые нужно наложить на слагаемые, чтобы их центрированная и нормированная сумма в пределе была распределена по стандартному нормальному закону. Грубо говоря, смысл этих ограничений состоит в том, что слагаемые случайные величины должны быть более или менее равноправны. Именно центральная предельная теорема приводит, например, к тому, что большинство физических измерений приводят к нормально распределённым результатам: на результат отдельного измерения накладываются многие мелкие факторы, и суммарная ошибка по центральной предельной теореме оказывается нормально распределенной случайной величиной.

3.3.4. Теорема Пуассона

Теорема Пуассона устанавливает условия, при которых биномиальную случайную величину можно приближённо считать пуассоновской.

Сначала — чисто аналитический факт:

При любом фиксированном λ>0, любом фиксированном целом m ≥ 0 и при n→∞:

Для достаточно больших n величина становится как угодно близкой к своему пределу. Обозначая , можем записать приближённое равенство:

т.е. биномиальные вероятности можно считать пуассоновскими:  причём λ=np. Поскольку в точной формулировке m и λ фиксированы, а n→∞, то можно рассчитывать на малую погрешность приближения при большом n, малом p и умеренном np.

3.5. Примеры решения задач по теме

Задача 1. В 400 испытаниях Бернулли вероятность успеха в каждом испытании равна 0,8. С помощью неравенства Чебышева оценить вероятность того, что разница между числом успехов в этих испытаниях и средним числом успехов будет меньше 20.

Решение. Число успехов в этих испытаниях распределено по закону Бернулли, поэтому среднее число успехов равно =np=400×0,8=320, а дисперсия =npq=400×0,8×0,2=64. Тогда в силу неравенства Чебышева имеем:

Вычислим эту же вероятность с помощью приближенной (интегральной) формулы Муавра-Лапласа:

Задача 2. В продукции цеха детали отличного качества составляют 50. Детали укладываются в коробки по 200 шт. в каждой. Какова вероятность того, что число деталей отличного качества в коробке отличается от 100 не более, чем на 5?

Решение. Пусть ξ_i – случайное число деталей отличного качества в i-ой коробке, тогда при n=200, p=q=1/2 получим:

Задача 3. Используя условия задачи 1, указать, в каких границах с вероятностью 0,997 находится число деталей отличного качества в коробке.

Решение. По таблице функции Лапласа при условии находим u=3, и следовательно, S_n лежит в пределах , т.е. число деталей отличного качества в коробке с вероятностью 0,997 находится в пределах 100 ± 21.

Задача 3. Используя условия задачи 1, определить, сколько деталей надо взять, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,99, можно было утверждать, что число деталей отличного качества среди них не менее 100.

Решение. Обозначим . Используя нормальное приближение, получаем

Отсюда , а из таблицы 2 и свойств функции Лапласа получаем неравенство u≤-2,32. Обозначив , с учетом p=q=1/2, приходим к квадратному неравенству решая которое, получаем n≥236.

Можно предложить и другой метод. А именно, пусть ξ_i – число деталей, которые пришлось перебрать, чтобы найти i-ую деталь отличного качества (включая ее саму). Случайные величины имеют геометрическое распределение с параметром p=1/2. Можем вычислить =1/p=2, =(1–p)/p²=2. Используя ЦПТ, получаем неравенство

откуда следует n≥200+14,14 ^. 2,32=232,8 или, округляя, n≥234.

Результаты получаются близкие, но первый метод более точен и потому предпочтительней. Вторым методом лучше пользоваться, если нужно определить границы, в которых лежит неизвестное число деталей.

Задача 4. Доходы жителей города имеют математическое ожидание 10 тыс. руб. и среднее квадратическое отклонение 2 тыс. руб. (в месяц). Найти вероятность того, что средний доход 100 случайно выбранных жителей составит от 9,5 до 10,5 тыс. руб.

Решение. Переформулируем условие задачи для суммарного дохода: он должен составлять от 950 до 1050 тыс. руб. Используя ЦПТ, получаем:

Задача 5. Срок службы электрической лампы имеет показательное распределение с математическим ожиданием 1000 часов. Найти вероятность того, что средний срок службы для 100 ламп составит не менее 900 часов.

Решение. Примем для простоты 1000 часов за единицу времени. Вспомним числовые характеристики показательного распределения: . Отсюда следует, что среднее квадратическое отклонение совпадает с математическим ожиданием (и оба они здесь равны единице). Переформулируя условие задачи для суммарного срока службы и используя ЦПТ, получаем:

3.6. Контрольные задания

1. Устройство содержит 2000 одинаковых элементов с вероятностью отказа для каждого за время , равной 0,001. Найти вероятность того, что за время откажут а) меньше трех элементов; б) не меньше одного элемента.

2. Вероятность поражения мишени при одном выстреле 0,8. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена 88 раз.

3. Игральную кость бросают 125 раз. Найти вероятность того, что относительная частота появления шестерок отклонится от его вероятности не более чем на 0,1.

4. В продукции цеха детали отличного качества составляют 85%. Детали укладываются в коробки по 800 шт. в каждой. Какова вероятность того, что число деталей отличного качества в коробке отличается от 680 не более, чем на 10?

5. В 1600 испытаниях Бернулли вероятность успеха в каждом испытании равна 0,3. С помощью неравенства Чебышева оценить вероятность того, что разница между числом успехов в этих испытаниях и средним числом успехов будет меньше 50.